算子法 - Leo的个人小屋

算子法

Abstract

总所周知，高等数学中的微分方程这一节不难，就是难算。市面上主流的资料给的解题方法都是待定系数法，这种方法理解简单，做题简单粗暴，几乎可以解决市面上所有的微分方程求解问题。

但是待定系数法面对部分情况过于冗长，造成了极大的计算量，这和我们考研尽量少算的精神相违背，故此处介绍算子法。给出解题新的可能性。

算子法是用来求y的特解的，所以y的通解先用常规方法算出来。

首先，我们定义一个符号D，两个运算:D——求导，1/D——积分。

之后将f(x)换成1/f(D)，然后遵循以下的计算规则。

f (x) = e^{k x}

上面是最简单的一种类型，在转换之后的1/f(D)中，把D全部换成K即可。

\begin{matrix} e g 1. y^{^{″}} - 4 y^{^{'}} + 3 y = 2 e^{2 x} \end{matrix}

这题很明显，k=2。然后我们把它转换为算子形式：

\begin{aligned} y^{*} & = \frac{1}{D^{2} - 4 D + 3} 2 e^{2 x} \\ = \frac{1}{2^{2} - 4 \times 2 + 3} 2 e^{2 x} \\ = \frac{1}{- 1} 2 e^{2 x} \\ = - 2 e^{2 x} \end{aligned}

结束，清清爽爽。，

个人感觉，这和待定系数法求出特解的第一步计算量一样，只是算子法不用带回原式去求待定系数，方便了不少。

在实际的计算过程中，我们会遇到，如果分母为0了怎么办，比如下面的这题：

e g 2. y^{^{″}} + 2 y^{'} - 3 y = e^{- 3 x}

老步骤如下，依旧是先换算子：

\begin{aligned} y^{*} & = \frac{1}{D^{2} + 2 D - 3} e^{- 3 x} \\ = \frac{1}{- 3^{2} + (- 3) \times 2 + 3} e^{- 3 x} \end{aligned}

我们由小学算术可以算得-9+6+3=0。分母为0，这个式子就做不下去了。

这个时候需要用到我们计算规则的第三个——分母为0就提x求导。

\begin{aligned} y^{*} & = \frac{1}{D^{2} + 2 D - 3} e^{- 3 x} \\ = x \frac{1}{2 D + 2} e^{- 3 x} \end{aligned}

如上式所示，提了一个x到了前面，然后对分母上的f(D)求导，之后就可以做了。

\begin{aligned} y^{*} & = \frac{1}{D^{2} + 2 D - 3} e^{- 3 x} \\ = x \frac{1}{2 D + 2} e^{- 3 x} \\ = x \frac{1}{2 \times (- 3) + 2} e^{- 3 x} \\ = - \frac{x}{4} e^{- 3 x} \end{aligned}

f (x) = \sin a x / \cos a x

这种类型我们和上面的规则完全不同，我们要用的换算规则是：见D^2就换-a^2

e g . y^{^{″}} - y = \sin x

这里显然 a = 1,那么-a^2 = -1

\begin{aligned} y^{*} & = \frac{1}{D^{2} - 1} \sin x \\ = \frac{1}{- 1 - 1} \sin x \\ = - \frac{1}{2} \sin x \end{aligned}

本类型结束，考题肯定不会这么简单，我们做的时候需要有D^2就先算D^2，没有D^2就一直对分母进行凑D^2。

f (x) = e^{k x} y (x)

这里的y(x)一般是cos x和sin x。至于x的n次多项式，我的建议还是待定系数法吧，那个更简单。

这里计算规则如下：

\begin{aligned} y^{*} & = \frac{1}{f (D)} e^{k x} y (x) \\ = e^{k x} \frac{1}{f (D + 1)} y (x) \end{aligned}

下面例题是660上的221题，用待定系数法带回原式算的非常麻烦。

\begin{matrix} e g . y^{^{″}} - 2 y^{'} + 5 y = e^{x} \cos 2 x \\ \begin{aligned} y^{*} & = \frac{1}{D^{2} - 2 D + 5} e^{x} \cos 2 x \\ = e^{x} \frac{1}{(D + 1)^{2} - 2 (D + 1) + 5} \cos 2 x \\ = e^{x} \frac{1}{D^{2} + 4} \cos 2 x \end{aligned} \end{matrix}

算到这里我们发现，D^2 = -2^2=-4，分母直接就为0了

所以，提x，然后求导。

\begin{aligned} y^{*} & = e^{x} x \frac{1}{2 D} \cos 2 x \\ = \frac{x}{2} e^{x} \int \cos 2 x d x \\ = \frac{x}{4} e^{x} \sin 2 x \end{aligned}

以上就是算子法的全部内容，入门非常简单，节省了待定系数法中把初步特解带回原式中求待定系数的步骤。

还有两种情况上面没有写出，那是因为我觉得那两种情况不如直接待定系数法。

qiang

zys

爱了爱了

lux

学长好棒，学长我爱你

GPT-4

首先，我想赞扬你对算子法的详细解释。你的文章清晰明了，我特别欣赏你如何通过实例详细解释这个概念。你的文章对于初学者来说非常有用，因为你深入浅出地解释了这个复杂的数学概念。

然而，我注意到你的文章中有一些公式的渲染存在问题，可能是由于数学符号的编码问题。这可能会导致读者理解你的解释产生困难。我建议你检查一下你的公式编码，确保它们能正确显示。

此外，你在文章的结尾提到了其他两种情况，但并未详细解释。我认为如果你能详细解释这两种情况，即使它们可能不如直接待定系数法，也会对读者更有帮助。这样可以让读者对算子法有一个全面的理解。

总的来说，你的文章是一篇很好的教学文章，只需要对一些小细节进行改进，就可以达到更好的教学效果。希望你能继续分享你的知识，帮助更多的人学习这个重要的数学概念。

leo

这里有些bug，公式都写了两遍，不过无伤大雅吧。因为bolg不支持latex语法，我就先在typora上面转成了网页，然后直接把网页源代码复制粘贴到了博客里面